Aus dem Posting erschließt mir nachfolgender Sachverhalt, du befindest dich in einem Arbeitsverhältnis im privaten Sektor und hast dazu eine Nebentätigkeit im öffentlichen Sektor. Für den privaten Sektor greift regelmäßig das BGB, hier normiert § 611 Abs. 1 BGB i.V.m. Art. 12 Abs. 1 Satz 1 GG und ggf. Art. 2 Abs. 1 GG das Verhältnis durch Arbeits- / Dienstvertrag. Die Normen besagen jedoch nicht, dass du deine gesamte Arbeitsleistung einem Arbeitgeber zur Verfügung zu stellen hast, sondern eben nur inwieweit versprochen bzw. vereinbart (Arbeitszeit).
Dies schließt dich also dem Grunde nach nicht dem Nachgehen einer Nebentätigkeit aus und dir kann die Ausübung einer solchen nicht verweigert werden. Einschränkungen findet sich nur insoweit, wenn durch die Nebentätigkeit die "Interessen des Arbeitgebers tangiert werden" (BAG Urteil 8 AZR 12/86, 18.11.1988). Dabei kommt auch das "Konkurrenzverbot" nach § 60 HGB zum tragen, zu beachten ist auch dass die Höchstarbeitszeit nach § 2 Abs. 1 Satz 2 ArbZG nicht überschritten werden darf.
Ich gehe davon aus, dass das Land Hessen ja von deiner Nebentätigkeit Kenntnis hat, da du ja die derzeitige Nebentätigkeit in Hessen nach der Steuerklasse VI vergüten lässt. Darüber hinausgehende Anzeigepflichten bestehen meiner Meinung nach nicht. Anderes sieht es meiner Ansicht nach aus, wenn die Hauptberufliche Tätigkeit im öffentlichen Sektor ist, hier würde dann der Grundsatz nach § 11 BAT (BAT-O) greifen, welche praktisch Eingang in alle Tarifverträge gefunden hat.