Grundsätzlich können auch private Einrichtungen durch Beleihung staatliche Aufgaben erhalten. Dann besteht Behördencharakter. Vgl. dazu § 1(4) VwVfG
"(4) Behörde im Sinne dieses Gesetzes ist jede Stelle, die Aufgaben der öffentlichen Verwaltung wahrnimmt."
In der Regel wird die AWO aber keine Behörde sein.
Um was geht es denn bei der Frage?