Es würde mich wundern, wenn im Rahmen der Pflichtversicherung die Eigenleistung erhöht werden könnte.
Denkbar ist, dass Du zusätzlich eine freiwillige Versicherung abschließt, da gibt es meist verschiedene Angebote mit/ohne Riesterförderung. Im Gegensatz zur Pflichtversicherung sind die Garantieleistungen aber meist deutlich schlechter.
Sobald Du weißt, wer für Dich zuständig ist (oft ist es die VBL) und Du die Anmeldebestätigung vom Arbeitgeber erhalten hast, kannst Du ansonsten auch mal proaktiv auf die ZVK zugehen.