Eine Versetzung ist ein Verwaltungsakt. Im Falle der Ablehnung besteht daher die Möglichkeit, Verpflichtungswiderspruch und möglicherweise Verpflichtungsklage zu erheben (§ 54 I und 2 BeamtStG iVm §§ 68 II, 42 VwGO). Die Versetzung steht im Ermessen des Dienstherren. Daher wirst Du im Fall einer ermessensfehlerhaften Ablehnung Deines Antrags im Regelfall nur durch Bescheidurteil des Verwaltungsgerichts eine Versetzung erreichen. Nur wenn das Ermessen ausnahmsweise dahin gehend auf Null reduziert ist, dass jede andere Entscheidung als die Gewährung der beantragten Versetzung ermessensfehlerhaft wäre, wird das Gericht den Dienstherrn verpflichten, die gewünschte Versetzung zu verfügen.
Der Antrag auf Versetzung kann grundsätzlich aus jedem sachlichen Grund abgelehnt werden, namentlich aus personalwirtschaftlichen Gründen, wie etwa Schwierigkeiten bei der Wiederbesetzung des Dienstpostens. Die Ablehnung ist nur dann rechtswidrig, wenn ganz schwerwiegende persönliche Gründe oder außergewöhnliche Härten im Einzelfall zwingend für die beantragte Versetzung sprechen.
Dauert die Bearbeitungsfrist zu lange oder der Dienstherr reagiert überhaupt nicht, besteht die Möglichkeit einer Untätigkeitsklage nach § 75 VwGO. Notfalls natürlich auch noch die sogenannte Raubernennung durch die neue Dienststelle (die manche Behörden wegen der fehlenden Versorgungslastenteilung jedoch nicht vornehmen). Den Begriff Raubernennung einfach googeln.