Soweit ich das sehe, würde ich ja weiterhin Beamtin bleiben.
Wenn es in NI nicht völlig anders ist, als in NW, ändert sich das Beamtenverhältnis nicht.
Ich habe schon einiges gegoogled und rausbekommen, das eine Versetzung von meiner Dienststelle an die neue das Beste für mich wäre (stimmt das?)
Ja. Die Alternativen wären Antrag auf Entlassung beim alten Dienstherrn und neue Ernennung (NICHT machen!) oder die "Raubernennung". Im letzteren Fall wäre es weniger für Dich ein Problem, sondern mehr für die neue Behörde, die alle Deine Versorgungsansprüche alleine erfüllen müsste. Das wird wohl nicht passieren und ist eine absolute Ausnahme. Also Versetzung. Oft wird der Versetzung eine Abordnung vorgeschaltet ("Abordnung mit dem Ziel der Versetzung"). In der Abordnungszeit könntest Du zur alten Behörde zurückkehren, es ist also eine Art "Testphase".
Muss ich dann bei Zusage einen Antrag stellen, oder macht das der neue Dienstherr und werden dann die Versorgungsansprüche übertragen oder wie läuft das?
Das machen die Dienstherrn unter sich aus. Du bekommst, wenn alles geklappt hat, eine Versetzungsverfügung Deines alten Dienstherrn. Da Deine Personalakte abgegeben wird, kann der neue Dienstherr auch die Versorgung ermitteln.
Ich habe diesen Versorgungslastenteilungs-Staatsvertrag gefunden, bin aber nicht ganz sicher, ob das so zu trifft.
Die Versorgung machen die Dienstherrn unter sich aus. Grob gesagt wird ein finanzieller Ausgleich vom alten an den neuen Dienstherrn geleistet, weil dieser künftig für Deine Versorgung zuständig ist, also einschließlich der geleisteten Jahre beim alten Dienstherrn.
Viel Erfolg!