Das hängt von sehr vielen Variablen ab, die HIER niemand seriös beantworten kann.
Direkte Versetzung oder vorgeschaltete Abordnung mit dem Ziel der endgültigen Versetzung?
Wie ist es um die aktuelle Arbeit bestellt?
Hat der aktuelle Dienstherr ein Interesse, dass noch Projekte bzw. Abschlussarbeiten erledigt werden (1-2 Monate Verzug) oder kann/will er dich sofort loswerden?
Sind Alt-Urlaubstage, abzufeiernde Mehrarbeitsstunden, Langzeiturlaub oder ein AZK vorhanden, das es noch abzufeiern gilt?
Das alles und noch viel mehr wird zwischen den beiden Personalstellen besprochen und dann "einigt" man sich auf einen Wechseltermin. Wenn die Akte gerade eben erst angefordert ist, wäre es relativ schnell, einen Wechsel zu Mitte Februar bzw. zu Anfang März zu vereinbaren. Realistischer im Zeithorizont dürfte wohl ein Wechsel zu Anfang April bzw. Mai sein (aber das ist bloß ein Anhaltspunkt aus ein paar Dutzend vergleichbaren Wechseln, in die ich Akteneinsicht gehabt habe). Dass es sehr schnell läuft ist eher selten der Fall.