Moin,
zuerst einmal: Die Frage der Eingruppierung unterliegt nicht den Vertragsparteien, sondern ist tariflich geregelt. Zwar bildet sich jede*r eine eigene Rechtsmeinung dazu, aber schlussendlich wird im Streitfall nur ein Arbeitsgericht die Frage klären können.
Du könntest also nun zu der Einschätzung gelangt sein, dass dir im den von dir am Ende bezifferten Zeitraum laut deiner dir vom Arbeitgeber übertragenen Aufgaben die damalige Entgeltgruppe 6 zugestanden hätte und du dies durch entsprechende Zeugnisse auch nachweisen kannst. (Das ist zumindest für mich verwirrend, da es ja bei der Eingruppierung um die von dir auszuübenden Tätigkeiten geht; selten sind dabei Voraussetzungen in der Person relevant. Wahrscheinlich war es also eher so, dass man, wenn du eine entsprechende Vorbildung nachweisen hättest können, man dir auch Aufgaben der EG6 übertragen hätte, in deinem Fall aber davon abgesehen hat, sondern dir Aufgaben der EG 5 gegeben hat.)
Wie dem auch sei. Solltest du mit deiner Einschätzung tatsächlich recht haben, dann gibt es für deren Feststellung keinen (mir bekannten) Verfallstermin. Du könntest also versuchen, gerichtlich feststellen zu lassen, dass du im entsprechend von dir benannten Zeitraum schon in der EG6 eingruppiert warst.
Da es aber die tarifliche Ausschlussfrist nach §37 TV-L gibt, besteht ein Anrecht auf Zahlung (monetäre) Ansprüche, die du in diesem Fall dann gegenüber dem AG erheben kannst, nur für die letzten 6 Monate nach schriftlicher Geltendmachung. D.,h., zu wenig gezahlte Gelder für Zeiten von vor Mitte 2021 sind "verloren".
Zwar würde sich die faktische Eingruppierung dennopch ändern, was prinzipiell Auswirkungen auf die schon absolvierten Stufenlaufzeiten haben kann. Aber eine Höhergruppierung aus der EG 6/1 führt genauso wie die bei dir durchgeführte aus der EG 5/1 in die EG 9/2 mit verlängerten Stufenlaufzeiten bzw. jetzt EG9a.
Heißt also: Selbst wenn du Recht damit haben solltest, dass du in deinem ersten Jahr schon Tätigkeiten der EG6 und nicht nur der EG 5 auszuüben hattest, und selbst wenn du dies gerichtlich feststellen lassen würdest, dann änderte sich für dich heute dennoch nichts. Weder würdest du eine Nachzahlung bekommen, noch heute mehr Gehalt.