Wenn man will, kann man, man muss nicht.
Wenn Sie während der Elternzeit bei Ihrem bisherigen Arbeitgeber in Teilzeit arbeiten, dann dürfen Sie durch die Teilzeit nicht schlechter gestellt werden. Durch die Teilzeitvereinbarung wird zwar Ihr bisheriges Arbeitsverhältnis geändert. Diese Änderung darf aber nur Ihre Arbeitszeit betreffen. Die übrigen vertraglichen Vereinbarungen bleiben normalerweise bestehen.
Nach der Elternzeit gilt automatisch das ursprüngliche Arbeitsverhältnis wieder so, wie es vor der Elternzeit gegolten hat. Dafür müssen Sie keinen Antrag stellen.