Eigenbetriebe können grundsätzlich genau so ausgegliedert und privatisiert werden wie andere Einheiten der Verwaltung. Das erfolgt für Bestandsbeschäftigte jedoch grundsätzlich unter Wahrung der Rechtsstellung (Beibehaltung der bisherigen Vertragsbedingungen). Da würde ich mir also keine Sorgen drum machen.
Das eingangs genannte "müsste wechseln" habe ich so verstanden, dass er sich zu einem anderen Eigenbetrieb wegbeworben und eine Zusage erhalten hat. Bei Um- und Ausgliederung von Eigenbetrieben ist eine Kündigung weniger selten notwendig. Das hängt aber davon ab, welche Art von Eigenbetrieb(en) vorliegt. Es existieren verschiedene Verwaltungsformen, die oftmals als Eigenbetriebe bezeichnet werden, aber unterschiedliche rechtliche Ausgestaltungen besitzen (Eigenbetrieb, Regiebetrieb, kommunales Unternehmen (bspw. als GmbH), Anstalten des öffentlichen Rechts).
Die Eingruppierung und Mitnahme der Stufenlaufzeit wäre vor der (möglichen) Kündigung vor Arbeitgeberwechsel zu klären und zu verschriftlichen. Es wäre ärgerlich, wenn der AN vom örtlichen Eigenbetrieb Stadtwerke in die zu gründende (ggf. überörtliche) Stadtwerke GmbH wechselt und dabei eine ungünstige Eingruppierung + Stufenlaufzeit erfolgt. Vielleicht will der AN auch nicht von der Gunst eines als Geschäftsführer in die GmbH entsorgten ehemaligen Kommunalpolitikers abhängig sein. Ggf. gibt es im Tarifvertrag Regelungen zur Ausgliederung und Übernahme der Beschäftigten.
Mitunter kommt auch ein Verbleib in der Kommunalverwaltung, auf einem anderen Arbeitsplatz, in Betracht.