Okay, ich würde es auch differenzieren.
Suche ich mir selbst höherwertige Tatigkeiten ohne explizites Einverständnis des AG und versuche dann vielleicht auch noch damit eine Höhergruppierung durchzusetzen, wirds für den AG eventuell problematisch. Erst recht, wenn dabei meine eigentlichen übertragenen Aufgaben zu kurz kommen. Also hier sehe eher noch eine Abmahnung.
Allerdings gehört auch es zu den Führungsaufgaben, also der Chef muss hier in erster Linie auch seiner Verpflichtung nachkommen, und seine Schäfchen beisammen halten, was die Aufgabenverteilung angeht.
Führe ich allerdings Zusatzaufgaben mit Wissen und vielleicht sogar Wollen des Vorgesetzen bzw. des AG aus, wird das mit der Abmahnung wohl sehr schwierig.
Gemessen am Beispiel vom TE klingt das nicht nur nach Duldung, sondern hier wurde bereits die Höhergruppierung auf den Weg gebracht ("durch die Geschäftsleitung genehmigt" was auch immer das bedeuten soll), nur die Tätigkeit noch nicht übertragen.
Möglicherweise ist die TD noch nicht erstellt. Oder, was ich auch schon mitbekommen habe, es ist im Stellenplan noch keine entsprechende Stelle frei und bis sich das ändert wird noch abgewartet, bevor die Tätigkeiten auch übertragen werden. Bis dahin nimmt der AG die Gratis-Erledigung von Zusatzaufgaben gern an