An und für sich ist die Kombination meiner Meinung nicht zielführend, da zwei Welten aufeinander prallen: Einerseits das Sachleistungsprinzip der GKV und andererseits das Kostenerstattungsprinzip der PKV/Beihilfe.
Auf den ersten Blick würde ich vermuten, dass du in dieser Konstellation wie erwähnt höchstens Rechnungen einreichen kannst über private (Zusatz-)Leistungen. Z.B. beim Zahnarzt für die höherwertigen Füllungen oder sowas. Ob diese - im Vergleich zur GKV - Mehrleistungen dann aber beihilfefähig sind, ist wieder die Frage.
Es gibt aber (zumindest bei einigen GKVen) auch Kostenerstattungstarife, die dann ähnlich wie eine PKV funktionieren. Vielleicht funktioniert das dann in Kombination mit individueller Beihilfe?
Ob es sinnhaft ist, sei aber mal dahin gestellt, weil man dann - soweit ich es verstanden habe - zwar den PKV-like Überblick über alle Kosten hat, aber dennoch keine Leistungen über GKV-Niveau plus dafür aber den Abrechnungsaufwand.
Edit: Hier stehen ein paar Infos dazu:
https://www.bundesgesundheitsministerium.de/service/begriffe-von-a-z/k/kostenerstattung-in-der-gkv - offenbar gibt es doch u.U. Vorteile, aber gegen Mehrpreis...