Es gibt keine Anträge auf Höherguppierung, da sich die Eingruppierung unmittelbar aus den tariflichen Vorschriften ergibt. Ebenso sind Stellen für die Eingruppierung unbeachtlich.
Aus diesen Gründen wird dir niemand sagen können, was du wo eintragen musst.
Die Eingrupperung ergibt sich aus den dir übertragenen Tätigkeiten. Du übst nur und exakt die Tätigkeiten aus, die dir wirksam übertragen worden sind. Übertragen nicht durch irgendwen, sondern nur durch Stellen, die befugt sind, Arbeitsverträge zu unterzeichen (Behördenleiter, ggf. Personalabteilung).
Zu klären wäre deshalb, was aktuell deine auszuübenden Tätigkeiten sind. Sind dir seit der Einstellung neue Tätigkeiten übertragen worden ("dass ich ab Anfang August die Stelle (...)"? Falls nicht: Hast du Grund zu der Annahme, dass die Bezahlung nach EG 5 nicht zur korrekten Eingruppierung passt? Falls dem so ist, solltest du deine Ansprüche wirksam geltend machen und den AG auffordern, seinen Irrtum zu korrigieren. Dabei an die tarifliche Ausschlussfrist denken. Sollte sich der AG weigern, steht dir der Klageweg offen (Eingruppierungsfeststellungs-/Leistungsklage).