Das ist doch kein Betrug, sondern eine Art Annahmefiktion.
Hier soll die Wegstrecke vom Wohn- zum Dienstort entschädigt werden. Wenn ein Umweg eingebaut wird ist das Privatvergnügen und wird nicht berücksichtigt - Erklärungsbedarf entstünde doch nur, wenn durch diese Abweichung etwas Unvorhergesehenes passieren würde.
Die Fragestellung, ob der Dienstherr hier nicht schlichtweg die Privatreise berücksichtigen/genehmigen könnte, bleibt unberührt.