Wir haben bei uns in der Verwaltung eine Mitarbeiterin, zu deren Aufgaben eben die Durchführung von BEM-Verfahren gehört. Das umfasst die Einleitung auf Hinweis der Personalabteilung nebst Anschreiben an die Betroffenen, die Durchführung der Gespräche mit den durch die Betroffenen gewünschten Teilnehmerinnen und Teilnehmer (so wie von blondie geschildert) und die Vereinbarung von Maßnahmen, um die Arbeitsplätze der Betroffenen am Ende auch leidensgerecht auszugestalten.
Die Dienststellenleitung ist da erstmal nicht mit an Bord, muss aber natürlich im Rahmen der Durchführung von Maßnahmen gegebenenfalls mit eingebunden werden.
Ich habe das Ganze vor ein paar Jahren mal für einige Monate vertretungsweise betreuen dürfen, und da war es so, dass sich viele Betroffene zwar zurückgemeldet haben, allerdings offensichtlich nicht unbedingt die Notwendigkeit gesehen wurde, am Arbeitsumfeld etwas zu verändern. Die Auslöser lagen da mutmaßlich eher außerhalb des Arbeitsumfeldes.
Ich persönliche sehe allerdings auch, dass auch in solchen Fällen Veränderungen am Arbeitsplatz durchaus hilfreich sein können.
Regelmäßig hat die Dienststellenleitung bei "vernünftigen" Maßnahmen selten Bedenken hinsichtlich irgendwelcher Einzelmaßnahmen. Manchmal kommt es allerdings vor (selbst in der Vertretung erlebt), dass die Betroffenen selbst einfach unrealistische Vorstellungen von dem haben, was der Arbeitgeber - gegebenenfalls natürlich auch mit vertretbarem Aufwand - so umsetzen kann und wo die Grenzen liegen.
Grundsätzlich würde ich meinen - um auf deine Ausgangsfrage zurück zu kommen -, dass ein BEM-Verfahren eigentlich nur von der Verwaltung ausgelöst werden kann, weil ja für den Arbeitgeber die Verpflichtung besteht, ein BEM zumindest anzubieten.