Dass du eine Stellenbeschreibung bekommen hast, ist erstmal nicht selbstverständlich und die Aufforderung dazu wird nicht in wenigen Behörden einfach ignoriert.
Da der Arbeitgeber in deinem Fall garantiert nur eine E6-Stelle bzw. eine äquivalente Beamtenplanstelle hat und einsetzt und er außerdem kein Interesse daran hat dich höherzugruppieren, war absolut absehbar, dass die Stellenbeschreibung zu dem Ergebnis kommt.
Dir bleibt jetzt nichts anderes übrig als dich exakt an die Tätigkeiten und Zeitanteile der Stellenbeschreibung zu halten, und wenn das in Praxis dann zu Problemen führt, ist das halt ein Arbeitgeberproblem.
Nachtrag: Es gibt keinen Antrag auf Höhergruppierung, nach Tarifrecht bist du immer korrekt anhand deiner nicht nur vorübergehend auszuübenden Tätigkeiten eingruppiert (Stichwort Tarifautomatik).
Das ist einfach klassisch so abgelaufen, wie ich es erwarten würde.