Du kannst es jetzt noch schriftlich einfordern (bis Ende des Jahres, 6-monatige Ausschlussfrist), dass dir deine vorherigen Tätigkeiten als einschlägige Berufserfahrung anerkannt werden.
Es wäre natürlich sinnvoll gewesen, das bereits im Zuge der Einstellung zu verhandeln. Die Prüfung der Einschlägigkeit lässt sich aber jetzt noch nachholen. Offensichtlich lag da nämlich ein Denkfehler der Behörde vor: Unterbrechungen sind nicht bereits bei einem Monat schädlich, sondern erst ab 6 Monaten (Protokollerklärung Nr. 3 zu TV-L § 16 Absatz 2).
Das Praktikum fand als Teil des Studiums statt? Dann kann es vermutlich nicht anerkannt werden.
Alles danach kann prinzipiell anerkannt werden, wenn sie die Einschlägigkeit bejahen wollen.
Eventuell kann dazu auch der Personalrat involviert werden. Anders als bei den förderlichen Zeiten ist es prinzipiell eine Tatsachenentscheidung und keine reine Ermessensentscheidung. Hat aber natürlich auch eine subjektive Komponente, allzuviel Hoffnung möchte ich dir nicht machen, die größten Chancen hat man immer, wenn sie es wollen und passend machen (= die Formulare entsprechend ausfüllen, dass die gewünschte Stufe herauskommt).
Förderliche Zeiten wiederum können jetzt nicht mehr anerkannt werden, da du bereits eingestellt bist. Plan B wäre daher wegbewerben und ggf Zahlung einer Zulage, um Stufe 3 vorwegzugewähren (angesichts des vorliegenden Stellenangebots, um dich zu halten).
Wenn alle richtigen Vortätigkeiten als einschlägig anerkannt würden, erhieltest du ab 1. Februar das Entgelt der Stufe 3. Das heißt, bei einem Arbeitsvertrag ab 1.2. könnte der neue Arbeitgeber dich unter Anerkennung einschlägiger oder förderlicher Zeiten direkt in die Stufe 3 einstellen. Sofern einschlägige Berufserfahrung anerkannt wird, auch schon vorher, die Stufenlaufzeit läuft dann weiter (sofern auch deine aktuelle Stelle eine befristete ist, bei unbefristeter geht das nicht) und der Stufenaufstieg erfolgt dann ebenfalls zum 1.2.