Wäre es ein Unterschied ob er die Aufgabe offiziell mit neuer Tätigkeitsbeschreibung durch das PersRef erhält oder nur auf Zuruf durch die SbL? ("du musst dich mal drum kümmern")
Ja!
Die Übertragung von Aufgaben erfolgt durch den Arbeitgeber (Behördenchef) oder von ihm beauftragte Personen (typischerweise Personalabteilung).
Andere Personen sind in der Regel nicht befugt, neue Aufgaben zu übertragen, die direkte Führungskraft kann allenfalls die übertragenen Aufgaben ausgestalten.
Wenn also ein Arbeitnehmer auf Zuruf durch die direkte Führungskraft andere Aufgaben wahrnimmt als offiziell übertragen, hat dies keine eingruppierungsrelevanten Auswirkungen, vielmehr droht eine Abmahnung, da die von offizieller Stelle übertragenen Aufgaben nicht mehr wahrgenommen werden.