Soll das alles so richtig sein? Oder gibt es evtl. Möglichkeiten, das man zumindest nicht schlechtergestellt ist als vorher?
Ja, wenn der Eingruppierungsirrtum rückwirkend vom AG korrigiert wird, dann ist das korrekt und richtig so.
Aber nur wenn auch tatsächlich die dafür durchgeführt Übertragung höherwertiger Tätigkeiten am 1.10.2021 stattfand. dann gilt: Du bist nicht schlechter gestellt als vorher, sondern du warst irrtümlicherweise vorher besser gestellt.
Allerdings klingt es danach, dass irrtümlicherweise dein AG die Anpassung an die korrekte EG also der "Höhergruppierung" auf den 1.10.2021 (weil 6 Monate vor deinem Hinweis auf den Eingruppierungsirrtum und der §37 Frist) gesetzt hat, obwohl sie mutmaßlich am 1.1.2021 oder davor passierte.
Wann bist du eingestellt worden mit welcher EG und Stufe und aus welchem Grunde ergab sich die HG?