Es gibt keine generellen Vorgaben, welche Funktionen ein Bürgermeister übertragen kann und welche nicht. Also konkret keine Vorschrift, die besagt, der Bürgermeister darf nur Sachgebiets-, aber keine Stabsstellenleitung übertragen. Auch sind diese Funktionen nicht mit einer festen Eingruppierung verbunden. Es kommt, wie @FearOfTheDuck schon ausgeführt hat, darauf an, welche konkreten Tätigkeiten damit verbunden sind und übertragen werden.
Die Personalabteilung hat vermutlich auf die Eingruppierung geschaut und dabei festgestellt, dass die Stabsstellenleitung zu einer höheren Eingruppierung führen würde. Somit könnte man den Mitarbeiter nicht einfach entgeltgruppengleich umsetzen. Möglicherweise bestehen gesetzliche Vorgaben oder Dienstvereinbarungen mit dem Personalrat, die eine Stellenausschreibung erforderlich machen. Wenn die Personalabteilung keine Probleme mit der Umsetzung ohne Ausschreibung auf eine Sachgebietsleiterstelle sieht, würde dies im Vergleich mit der Stabsstellenleitung vermutlich mit geringeren Kompetenzen und geringerer Eingruppierung verbunden sein.
Eine andere Frage ist die Sinnhaftigkeit des Vorschlags der Personalstelle und des Vorgehens insgesamt. Ob man für eine Stabsstelle mit drei Mitarbeitern einen Leiter benötigt kann ebenso hinterfragt werden wie die Idee, in diesem Konstrukt noch ein Sachgebiet unterzubringen.
