Guten Abend!
Was ist mit Einweisung gemeint? Aus dem Post geht hervor, dass eine Beförderung anscheinend noch nicht stattgefunden hat. Erst mal ist festzuhalten, dass ein Beamter keinen Anspruch auf Beförderung hat, so dass dein Dienst her die Stelle zwar organisatorisch anders bewerten hat, aber die Beförderung, aus welchem Grund auch immer, nicht durchführt.
Wenn die persönlichen sowie beamtenrechtlichen Vorgaben erfüllt wären, und eine Beförderung ausgesprochen wird, sollte § 3 Abs. 1 LBesG NRW zum tragen kommen.
Die Zulage wegen höherwertige Tätigkeiten, die hier angesprochen wurde, kenne ich nur aus dem Angestelltenbereich in der Form. Diese scheidet also aus.