Ich möchte euch zunächst für eure Antworten und Einschätzungen danken und noch dazu etwas ausführen.
Vorbildliche Sachverhaltsdarstellung, schön, wenn es immer so wäre 
Vielen Dank dafür

Problematisch ist, dass du andere als deine auszuübenden Tätigkeiten ausgeführt hast. Daran ändert nichts, dass dies vom FBL-B angeordnet wurde. Sollten diese anderen Tätigkeiten zu einer höheren Eingruppierung führen, wären weder der FDL-B noch der FBL-B dazu berechtigt, dir diese Aufgaben übertragen.
Genau, daher wurde ja die FBL-Z einbezogen. Letztlich wird dann durch den HVB mit Zeichnung bestätigt.
Sollte der AG (FBL-Z / HVB) erst durch die vorgelegten Aufzeichnungen auf diesen Umstand aufmerksam geworden sein, steht ihm selbstverständlich das Recht zu, zu entscheiden, ob er dir überhaupt andere Tätigkeiten übertragen möchte. Dass er sich vorher erst eine Rechtsmeinung zur Eingruppierung bilden möchte und dazu einen externen Dienstleister beauftragt, ist nachvollziehbar. Ob durch Übersendung der neuen Stellenbeschreibung bereits eine Übertragung stattgefunden hat, bezweifle ich.
Hier kommt die Crux und dazu ist bspw. folgende Rechtsprechung relevant:
Leitsatz
Die - auch mit dem unmittelbaren Vorgesetzten - abgestimmte Ausübung höherwertiger Tätigkeiten führt nur dann zu einem tariflichen Höhergruppierungsanspruch, wenn eine zumindest stillschweigende Zustimmung der für Personalangelegenheiten zuständigen Stelle des öffentlichen Arbeitgebers vorliegt.
(LAG Köln, U. v. 08.08.2000 – 5 Sa 567/00 –, juris)
Revision als unzulässig verworfen.
(BAG, B. v. 20.02.2001 – 4 AZR 677/00 –, BAGE 97, 63-64)Leitsatz
Die mit den im Arbeitsumfeld tätigen Kollegen und gegebenenfalls auch mit dem unmittelbaren Fachvorgesetzten abgestimmte Ausübung einer höherwertigen Tätigkeit durch den Angestellten ohne - auch nur stillschweigende - diesbezügliche Zustimmung der für Personalangelegenheiten zuständigen Stelle des öffentlichen Arbeitgebers vermag einen Anspruch des Angestellten auf Höhergruppierung nicht zu begründen.
(BAG, U. v. 26.03.1997 – 4 AZR 489/95 –, juris)Daraus lässt sich meinem Verständnis nach eine Pflicht für den öffentlichen Arbeitgeber ableiten, gegen die tatsächliche Ausübung eingruppierungsverändender Tätigkeiten vorzugehen, sobald er davon nachweislich Kenntnis erlangt, die Ausübung somit zu untersagen. Hier hat die im relevanten Zeitpunkt zuständige Stelle nachweislich Kenntnis erlangt und ferner wurde dem Arbeitnehmer diese Tätigkeiten durch einpflegen dieser in ein „wie auch immer genanntes“ förmliches Dokument bestätigt, bzw. hatte die zuständige Stelle nachweislich Kenntnis darüber, dass deren ständiger Vertreter als FBL-Z diese bestätigt hat.
Richtig währe hier doch eher gewesen, dem Arbeitnehmer die Ausübung der eingruppierungsrelevanten Tätigkeiten zu untersagen bis sich der Arbeitgeber eine Rechtsauffassung zu den Tätigkeiten und der Eingruppierung gebildet hat.
Fraglich ist schon, ob der ständige Vertreter des FBL-Z dazu überhaupt befugt wäre. Es ist wahrscheinlich, dass nur ein überarbeiteter Entwurf (anscheinend gab es geringfügige Änderungen) zur Information bzw. Abstimmung vorgelegt wurde. Den Wortlaut der Mail kennen wir nicht. Da Stellen und deren Beschreibungen für die Eingruppierung von Tarifbeschäftigten unbeachtlich sind, müsste neben dem beigefügten Dokument aus dem Text m. E. schon deutlich der Wille zur Übertragung anderer auszuübender Tätigkeiten hervorgehen. Selbst wenn dies der Fall wäre, halte ich es für schwierig, daraus schon eine Einigung zu konstruieren.
Hierzu noch organisatorische Ausführungen:
Der FBL-Z ist zum ende 2024 in Rente gegangen. Sein "ständiger Vertreter" (der Übersender) wurde über das zweite Halbjahr 2024 als sein Nachfolger eingearbeitet. Dieser ist mit beginn 2025 neuer FBL-Z und durch Beschluss der Gemeindevertretung nun auch allgemeiner Vertreter des HVB.
Es handelt sich tatsächlich nicht nur um einen überarbeiteten Entwurf, sondern der Wortlaut der Mail kling eher nach einer als Endgültig zu verstehende Bestätigung. Es geht auch nicht um geringfügige Änderungen sondern um eine gänzliche Überarbeitung der Art und des Maßes der Tätigkeit. Ich kann die beiden Tätigkeitsbeschreibungen anonymisiert gerne Posten.
Sehr geehrter XXX,
bezugnehmend auf Ihre Anfrage vom TT. MMMM 2024 überreiche ich Ihnen anbei die aktualisierte Stellenbeschreibung.
Sollten Sie Rückfragen haben oder weitere Informationen benötigen, stehe ich Ihnen selbstverständlich gern zur Verfügung.
Freundliche GrüßeStellenbeschreibung ist bei uns im Haus eine "Allbezeichnung". Von Seiten des FB-Z ist Tätigkeitsdarstellung, Arbeitsplatzbeschreibung uns Stellenbeschreibung alles das gleiche. Naja…
Und die Einigung ergibt sich aus den Tatsachen. Was jetzt Angebot und was Annahme ist spielt letztlich keine Rolle mehr. Jedenfalls hatte die zuständige Stelle nachweislich Kenntnis über die gesamte tatsächlich ausgeübte Tätigkeit. Dagegen ist diese nicht vorgegangen sondern hat sogar nachweislich Kenntnis über die Bestätigung dieser Tätigkeiten erlangt.
Inhaltlich bin ich bei Sjuda. Aus dem Sachverhalt geht zwar hervor, dass eine "Neue Stellenbeschreibung" versandt wurde, jedoch nicht, mit welcher Absicht.
Hierzu s. o.: Habe den Text der Mail beigefügt.
Von einer Aufgabenübertragung kann nur ausgegangen werden, wenn diese durch eine entsprechende Willensäußerung durch den AG erfolgt. Dies ist im Sachverhalt nicht zu erkennen.
Auch die bloße Kenntnisnahme von (ggf. entscheidungsbefugten) Dritten über von den übertragenen Aufgaben abweichenden Tätigkeiten bedeutet keine Übertragung dieser.
Hierzu auch s. o.: BAG, U. v. 26.03.1997 – 4 AZR 489/95 –, juris und LAG Köln, U. v. 08.08.2000 – 5 Sa 567/00 –, juris.
Möglicherweise habe ich die Rechtsprechung ja auch gänzlich falsch verstanden.