Die Geburtenregister (ebenso die Eheregister, Lebenspartnerschaftsregister und Sterberegister) sind nicht zentralisiert, d.h. die Daten werden ausschließlich im beurkundenden Standesamt vorgehalten. Andere Standesämter können dort nichtmal Einsicht nehmen, wie etwa in die Melderegister. Somit bleibt nichts anderes übrig, als sich an das (in diesem Fall Geburts-)Standesamt zu wenden.
Viele Standesämter haben übrigens Online-Portale, über das man die Urkunden anfordern kann. Schau eventuell mal auf der Website der Stadt oder Gemeinde, ob es da einen Link gibt.
Und Achtung, nicht auf die "Dienstleister" reinfallen, die für viel Geld die Beantragung für Dich vornehmen. Eine Urkunde sollte nicht mehr als etwa 10€ kosten.