Die Diskussion, ob du bereits jetzt schon nach E 13 eingruppiert bist und dein Arbeitgeber mit der Zahlung nach E 11 irrt, halte ich für schwierig.
Zielführender wäre es mit deinem jetzigen AG zu sprechen und auszuloten, ob und in welchem Umfang er deine bisherige Tätigkeiten als fürderlich (für die Stufe) anerkennt. Hier würde ich mir Zeit nehmen und Argumente zurechtlegen, warum dies aus deiner Sicht der Fall ist.
Auch Argumente (Auszüge aus dem Tarifvertrag), dass es überhaupt möglich ist, förderliche Zeiten anzuerkennen. Leider ist es nicht allen Personalstellen bekannt, was tariflich möglich ist.