Es gibt klassischerweise zwei Zeitpunkte, zu denen der Arbeitgeber eine mündliche Zusage macht.
Der Ablauf im Auswahlverfahren ist grob folgender. Prüfung aller Bewerber (Aktenlage/Auswahlgespräch/AC/...), Festlegung der Reihenfolge, [1] Absage an alle Unterlegenen, Abwarten der 14 tägigen Konkurrentenklagefrist, Beteiligung der Personalvertretung,[2] Vertrag ausfertigen.
Die mündliche/schriftliche Zusage erfolgt meist an Stelle [1]. D.h. nachfolgend müssen die Absagen rausgeschickt , die 14 Tage abgewartet und die Beteiligung durchgeführt werden. Dazu kommen an allen Stellen Bearbeitungszeiten/Liegenlassen, Terminkoordinierungen und interne Abstimmungsprobleme etc. etc.. Ergo Minimum 3-4 Wochen, eher mehr.
Macht man es an [2], kann es auch sehr schnell gehen. Der Zeitpunkt ist aber für den AG ziemlich bescheiden, weil er viele Risiken in sich birgt. Man hat allen anderen abgesagt und den Favoriten wochenlang warten lassen. Der ggf. mittlerweile kein Interesse mehr hat....
Sollte nach 3-4 Wochen nichts passiert sein, einfach mal den Personaler anrufen und nachfragen.