Das Argument mit den § 13 (1) TVöD ist mir unklar.
Relevant ist hier die Protokollerklärung zu § 17 TVöD
"Protokollerklärung zu den Absätzen 4, 4a und 4a.1:
Ist Beschäftigten nach § 14 Abs. 1 vorübergehend eine höherwertige Tätigkeit übertragen worden, und wird ihnen im unmittelbaren Anschluss daran eine Tätigkeit derselben höheren Entgeltgruppe dauerhaft übertragen, werden sie hinsichtlich der Stufenzuordnung so gestellt, als sei die Höhergruppierung ab dem ersten Tag der vorübergehenden Übertragung der höherwertigen Tätigkeit erfolgt. Unterschreitet bei Höhergruppierungen nach Satz 1 das Tabellenentgelt nach den Sätzen 4 des § 17 Abs. 4, 4a bzw. nach dem Satz 5 des § 17 Abs. 4a.1 die Summe aus dem Tabellenentgelt und dem Zulagenbetrag nach § 14 Abs. 3, die die/der Beschäftigte am Tag vor der Höhergruppierung erhalten hat, erhält die/der Beschäftigte dieses Entgelt solange, bis das Tabellenentgelt nach den Sätzen 4 des § 17 Abs. 4, 4a bzw. nach dem Satz 5 des § 17 Abs. 4a.1 dieses Entgelt erreicht oder übersteigt."