Das mit den "hoheitlichen Tätigkeiten" sollte man nicht so genau nehmen.
Bis auf Polizei, Justiz, Finanzen ist es in der Praxis so, dass jeder öffentliche Arbeitgeber/Dienstherr selbst entscheidet, wo er Beamtenstellen bereit hält und wen er verbeamtet und wen nicht. Es kann sein, dass der Kollege neben dir, der genau die gleiche Tätigkeit macht, wie du, verbeamtet wird aber du nicht.
Ob Dienstherr gewillt ist, bestimme Stelle zu verbeamten, kann man daher tatsächlich aus der Stellenausschreibung schon ablesen. Wenn da nix steht von Stelle (auch) für Beamte bis Axy, dann gibts auch keine Planstelle für Beamte und somit müsste diese erst geschaffen werden oder es müsste umstrukturiert werden.
Da offensichtlicht der Arbeitgeber nicht bereit ist, diesen Aufwand zu betreiben, ist es einfacher verbeamtet zu werden, wenn du dich auf eine Stelle (durchaus bei derselben Behörde) bewirbst, wo auch eine Planstelle für mögliche Beamte zur Verfügung steht.