Ermittlung korrekte Kündigungsfrist

[gine18]

Hallo,
ich bräuchte bitte Unterstützung zur Ermittlung der korrekten Kündigungsfrist.
Ich habe am 15.04.2021 eine unbefristete Stelle nach TVL angetreten, nun habe ich eine Zusage zu einer anderen  Stelle, auf die ich schon lange gewartet habe bekommen. Diese ist nicht im öffentlichen Dienst.
Wenn ich richtig verstanden habe, zählen die Zeiten bei einem anderen Arbeitgeber nach TVL im selben Bundesland nicht mit dazu. Oder zählt als Arbeitgeber das Bundesland?
Falls nicht, bin ich richtig der Annahme, dass wenn ich jetzt Kündige, meine Kündigungsfrist einen Monat zum Monatsende beträgt?

[XTinaG]

Arbeitgeber ist grundsätzlich der, der im Arbeitsvertrag als solcher bezeichnet ist.