Befristete Arbeitsverhältnisse können – von der außerordentlichen Kündigung gem. § 626 BGB abgesehen – vor Vertragsablauf grundsätzlich ordentlich nicht gekündigt werden, wenn nicht die Ein befristetes Arbeitsverhältnis kann nur dann der ordentlichen gekündigt werden, wenn dies einzelvertraglich oder im anwendbaren Tarifvertrag vereinbart ist. Dieses ist in § 30 Abs. 4 und 5 TV-L geschehen. Bei sachgrundlosen Befristungen ist ab er nur eine Kündigung vorgesehen, wenn das Beschäftigungsverhältnis mindestens als 12 Monate dauern soll.
Unklar ist allerdings, welche Kündigungsfrist nach Ablauf der sechswöchigen Probezeit im sachgrundlos befristeten Arbeitsverhältnis gelten soll. Einerseits gilt die Zweiwochenfrist nur während der Probezeit, die bei der sachgrundlosen Befristung sechs Wochen beträgt (§ 30 Abs. 4 Satz 1 TV-L). Andererseits soll die Vier-Wochen-Kündigungsfrist nach § 30 Abs. 5 Satz 2 TV-L erst nach einem sechsmonatigen Bestand des Arbeitsverhältnisses gelten. Nach einem Kommentar zum TV-L ist davon auszugehen, dass hier eine unbewusste Regelungslücke vorliegt, die dahingehend zu schließen ist, dass auch bei der sachgrundlosen Befristung unabhängig von der Dauer der Probezeit in den ersten sechs Monaten die Kündigungsfrist zwei Wochen zum Monatsschluss beträgt.
Du solltest einmal in deinem Vertrag nachlesen, ob vielleicht eine Kündigung ausdrücklich vorgesehen ist (clevere Arbeitgeber tun dieses).
Falls nein, solltest du das Gespräch mit deinem Arbeitgeber suchen.