Was du zitiert hast ist nur relevant bei Höherstufung.
Bedeutet folgendes: Wenn du bspw. am 15.06. höhergestuft wirst (bspw. von 1 in 2), erhältst du nicht erst ab dem 15.06. das Entgelt der höheren (2) Stufe, sondern bereits ab dem 01.06., obwohl du dort noch in Stufe 1 warst.
Zum Zeitpunkt deiner Einstellung am 01.06.2020 hattest du kein volles Jahr Berufserfahrung, daher war es dort in Ordnung, dir die Stufe 1 zu geben. Demnach dürftest du letztes Jahr zum 01.06.2021 in die Stufe 2 hochgestuft worden sein. Da die Stufenlaufzeit in Stufe 2 zwei Jahre beträgt, wirst du zum 01.06.2023 in Stufe 3 hochgestuft.
Der von dir zitierte Teil aus dem TV kommt hier nicht zur Anwendung, da du ja ohnehin zum Ersten des Monats hochgestuft wirst.