Ich würde auch dringend empfehlen, mit deinem Arbeitgeber zu reden, dass dir die neuen Tätigkeiten erst in einem halben Jahr übertragen werden. Nachteil für ihn wäre lediglich, dass er bis dahin deine jetzige Stelle nicht neu ausschreiben kann.
Ggf. lässt sich das auch machen, indem man dir die neuen Tätigkeiten erstmal für ein halbes Jahr nur vorübergehend überträgt und du bis dahin weiterhin in EG11/3 bleibst, aber eine Zulage nach E12 erhältst. So läuft deine Stufenlaufzeit weiter und wenn du dann in E11/4 bist, kann man dir die neuen Tätigkeiten immer noch fest übertragen, sodass du höhergruppiert wirst.
Setzt aber in jedem Fall ein Gespräch mit dem Arbeitgeber voraus. Wenn das für ihn nicht in Frage kommt, solltest du dir nochmal überlegen, die Stelle wirklich zu wechseln, da du dann wie oben geschrieben für eine ziemlich lange Zeit weniger haben wirst, als würdest du die Stelle nicht wechseln.