Warum ist die Kita denn zu? Wenn behördlich geschlossen wegen Corona gibt es dafür Kinderkrankentage.
Ansonsten entweder Urlaub nehmen, den Ausgleichtstag/Minusstunden oder unbezahlte Freistellung beantragen.
§616 greift hier nicht, denn du wusstest schon 4-5 Wochen davon und hättest entsprechend vorsorgen müssen. Dazu zählen nicht nur das andere Elternteil sondern z.B. auch eine Betreuung durch Dritte (Babysitter, Verwandte, andere Eltern der Kita die betroffen sind).
Generell ist das organisieren der Kinderbetreuung Sache des AN und interessiert den AG erst einmal nicht.
Die meisten Kitas bieten übrigens Notbetreuungen an, wird nur selten kommuniziert. In unserer Gemeinde z.B. in den Schließzeiten zwischen Weihnachten und Neujahr ist im Wechsel eine Kita dran. Das wird nur nicht offen angesprochen weil jeder hofft das keiner einen Anspruch anmeldet.