Würde empfehlen, nicht zu kündigen. Theoretisch wäre es sonst sogar möglich, sofern die Tätigkeiten in A und B zur selben Eingruppierung führen, dass du trotzdem die Tätigkeiten in A übernehmen musst, so lange bis der Arbeitgeber dich anweist, die Tätigkeiten in B auszuüben. Und dann hast du außer einem Haufen Ärger und bürokratischem Aufwand und ggf. finanziellen Nachteilen (Stufenlaufzeitverlust) nichts gewonnen.
Generell ist es eine Sache deines Arbeitgebers und genauer des Personalreferats, dich anzuweisen, wann du wo deine Arbeit verrichten sollst. In meiner Behörde ist das wahrscheinlich ähnlich geregelt wie bei dir, dass der verantwortliche Personaler die jeweiligen Referatsleiter dazu auffordert, sich dazu auszutauschen, wann der Wechsel stattfinden soll. Sofern es kein Wissen gibt, das noch langwierig auf bestehende Kollegen übertragen werden muss, ist es generell sinnbefreit, dich noch ewig lang in A festzuhalten. Die Stelle kann vermutlich aus haushaltsrechtlichen Gründen erst wieder ausgeschrieben und neu besetzt werden, wenn du weg bist. Je länger du also dort gehalten wirst, umso länger ist in der Behörde eine Stelle auf jeden Fall unbesetzt.
Wenn die Referatsleiter sich nicht einig werden können, muss eben wieder der berechtigte Arbeitgebervertreter aus der Personalabteilung entscheiden, wann der Wechsel stattfindet.