Wenn der Asylantrag abgelehnt wurde steht da sehr wohl etwas drin, in aller Regel "Der Antragsteller wird aufgefordert, die Bundesrepublik Deutschland binnen 30 Tagen zu verlassen, andernfalls droht ihm die Abschiebung nach XXX".
Seine Pflicht ist also die Ausreise, die Abschiebung ist nur ein Hilfsmittel.
Hat der den Bescheid des Bundesamts für Migration und Flüchtlinge wirksam werden lassen, wovon ist ausgehe, wenn die ABH den Leistungsbezug einstellt, dann ist das Verfahren mutmaßlich aufgrund der Rechtsmittelfristen durch.
Er kann u.U. einen Folgeantrag stellen, oder eben ausreisen, ein Leistungsanspruch besteht jedenfalls erst einmal nicht mehr. Er sollte also zur ABH gehen und klären, wie man ihm ggf. bei der Rückreise in sein Herkunftsland behilflich sein kann, oftmals werden sogar Flugtickets finanziert.