Eine Bestätigung oder gar Einverständniserklärung des Gegenübers ist grundsätzlich nicht nötig, damit die Kündigung wirksam wird. Dennoch ist es sinnvoll, eine Kündigungsbestätigung anzufordern, weil Du als Kündigender die Beweislast trägst. Du hast aber kein Recht darauf, das Nachweisgesetz gibt da so nicht her.
Interessant ist übrigens, dass die Tarifparteien (Abschluss TVöD) soweit erkennbar keinen Hinweis auf die Klagefrist für die Erhebung einer Kündigungsschutzklage aufgenommen haben. So ist der Arbeitgeber laut Nachweisgesetz - allerdings ohne unmittelbare Rechtswirkung - verpflichtet, auf diese direkt im Arbeitsvertrag oder sonst schriftlich hinzuweisen, § 2 Absatz 1 Satz 1 Nr. 14 NachweisG.