Ja, du bekommst das höhere Gehalt für den ganzen Monat, wenn der Stufenaufstieg innerhalb des Monats stattfindet (egal ob 02.08. oder 26.08.).
Siehe § 17 Abs. 1 TVöD
Auf den Paragraphen würde ich die entsprechende Stelle (Abrechnung) bei euch im Haus verweisen.