Wurde die Verlängerung des befristeten Arbeitsvertrages schon vertraglich vereinbart?
Wenn ja, kannst Du ordentlich mit einer Frist von vier Wochen zum Quartalsende kündigen. Das heißt, dass eine Kündigung zum 31.10.2023 nicht möglich ist. Der nächstmögliche Termin wäre dann der 31.12.2023. Siehe hierzu § 30 Abs. 5 TV-L. Somit bliebe Dir nur, dass Du dich mit Deinem AG auf einen Aufhebungsvertrag zum 31.10.2023 verständigst.
Wenn nein, könntest Du das befristete Arbeitsverhältnis zum 30.09.2023, also dem Ende der ursprünglichen Befristung, auslaufen lassen.