Im Unterschied zur gesetzlichen Regelung (§ 3 Abs. 3 EFZG) kennen die Tarifverträge des öffentlichen Dienstes keine Wartezeit.
§ 22 Abs. 1 TVöD/TV-L/TV-H stellt eine eigenständige Anspruchsgrundlage auf Fortzahlung des Entgelts im Krankheitsfall dar.
Du hast somit auch in den ersten 4 Wochen im neuen Arbeitsverhältnis einen Anspruch auf Entgeltfortzahlung.
Vor einer Kündigung in der Probezeit ist man nie sicher.
Ich gehe gefühlsbedingt allerdings davon aus, dass der AG dich auch bei einer bspw. 2 wöchigen Arbeitsunfähigkeit in der Probezeit nicht kündigen wird.
Wenn doch, dann war es sowieso nicht der richtige AG und man hätte dich auch anderweitig loswerden wollen würden.
Für Krankheit kann niemand etwas. Außerdem würde ich es persönlich auch vollumfänglich und vehement ablehnen, dich mit Corona oder sonstigen infektiösen Krankheiten in der Dienststelle begrüßen zu dürfen.
Ich möchte mich nicht anstecken und würde wollen, dass du zu Hause bleibst.
Im Grunde umfasst oben beschriebenes auch die Fürsorgepflicht des AG.
Sowohl dir, als auch den anderen Beschäftigten gegenüber.