Die Übertragung von geänderten Tätigkeiten erfolgt durch einen dazu bevollmächtigten Arbeitgebervertreter, idR. durch das Personalamt und idR. als Änderung/Ergänzung zum Arbeitvertrag o. ä.
Mit dauerhafter Übertragung geänderter (oder weiterer) Tätigkeiten erfolgt eine Änderung der Eingruppierung qua Tarif / EGO, sofern die neuen Tätigkeiten (insgesamt) zu einer Änderung führen, § 12 TVöD. (Wenn die neuen Tätigkeiten insg. zu derselben Eingruppierung führ(t)en, änderte sich ja nichts.)
Ein Antrag ist nicht erforderlich bzw. nicht "möglich", da es einen Automatismus gibt.
Was erforderlich sein kann, ist ein Hinweis an die Anrechnungsstelle, dass man nunmehr andere Tätigkeiten ausübt, die - zumindest nach Auffassung des AN - zu einer anderen Eingruppierung führen.
Dann "kann" man darüber streiten, welche Eingruppierung aus den Tätigkeiten richtiger Weise folgt, hilfsweise vor dem Arbeitsgericht.
Sofern bereits das bisherige Entgelt weitergezahlt worden ist, kann man die "Änderung" der Entgeltabrechnungen seit Änderungen der Tätigkeiten "beantragen". Besser gesagt, den Abrechnungen widersprechen und die Berichtigung sowie (ausdrücklich!) die Auszahlung des Mehrentgelts (wichtig, § 37 TVöD) einfordern.
Auch dann "kann" man darüber streiten (s.o.), welche Eingruppierung aus den Tätigkeiten richtiger Weise folgt.
Wieso sich die Person nach der Übertragung geänderter Tätigkeiten erneut bewerben sollen müsste, erschließt sich mir nicht.
Wäre der Fall nicht fiktiv, würde ich zu einem Gespräch mit dem Personalrat, einer Gewerkschaft und/oder einem Arbeitsrechtler raten, da es in diesen Konstellationen oft auf die individuellen Umstände des Einzelfalles ankommt.
EDIT:
Was denn nun? Fiktiver Fall oder nicht?
Sind neue Tätigkeiten bereits übertragen oder nicht?
Die Stellenbeschreibung ist egal, die Übertragung der einzelnen Tätigkeiten nebst ihrer Zeitanteile ist relevant.
