im Bereich TVöD sind wir in § 26 Abs. 2, danach ist der (Rest-)Urlaub bei Erkrankung bis zum 31.05. anzutreten.
Im Übrigen gilt noch § 7 Abs. 3 BUrlG: liegen Gründe in der Person des AN (z. B. Erkrankung), wird der Urlaub in das nächste Kalenderjahr übertragen und muss innerhalb des ersten Quartals, also bis 31.03., genommen werden.
Die Regelung im TVöD ist günstiger, also wird der Resturlaub aus 2023 nach 2024 übertragen und muss bis 31.05. angetreten werden (erster Rest-Urlaubstag am 31.5.). Ansonsten verfällt er (wenn der ArbG, wie Du schon bestätigt hast, darauf explizit hingewiesen hat).