Wenn der Arbeitnehmer NICHT Mitglied einer vertragsschließenden Gewerkschaft des TVöD ist, ergibt sich die Tarifbindung nur aufgrund einer einzelvertraglichen Vereinbarung. Diese kann natürlich auch mündlich geschlossen werden. Arbeitsverträge - auch nach TVöD - sind grundsätzlich auch wenn Sie mündlich abgeschlossen wurden, wirksam. Die Regelung der Schriftform in § 2 Abs. 1 TVöD hat nur eine rein deklaratorischer Form. Nur Nebenabreden zum Arbeitsvertrag unterliegen zur Wirksamkeit der Schriftform.
Es kommt also darauf an, was mündlich vereinbart wurde, ob der TVöD Anwendung findet oder nicht.
Wenn der AG dem Nachweisgesetz nicht nachgekommen ist, hat er sich ggfls. ordnungswidrig verhalten. Des Weiteren könnte der Arbeitgeber im Rahmen eines Arbeitsgerichtsprozesses Probleme mit der Darlegungs- und Beweislast bekommen, ob die Anwendung des TVöD mündlich vereinbart wurde oder nicht. Am einfachsten wäre für den betroffenen Kollegen, wenn er jetzt schnell in eine der vertragsschließenden Gewerkschaften eintritt und dem Arbeitgeber dies mitteilt, dann würde sich die Tarifbindung sowieso kraft TVG ergeben.