Das erste was mir dazu einfällt ist, warum du dich denn dann bei einer Behörde bewerben möchtest, wenn die da so streng sind und dir Verbeamtung auch nicht wichtig ist. Dann bewirb dich doch bei Institutionen, die dem öffentlichen Dienst angelehnt sind, z.B. Universitäten, Forschungsinstitute, Unikliniken etc. Ich kann nur für unser Institut sprechen, aber da bedeutet ein BA noch lange nicht, dass man auch auf gehobener Position mit EG10++ landet. Im Gegenteil, wenn du dich mit einem höherwertigen Abschluss auf eine minderbezahlte Stelle bewirbst, wirst du mit Handkuss genommen, wenn du die Tätigkeiten erfüllen kannst. Bei uns wird gerne so billig wie möglich eingekauft.
Ohne deine Motivation für diesen "Mindereinstieg" (sorry für das Wort, mir fällt gerade nichts besseres ein) werten zu wollen, sie ist bewerbungstechnisch echt problematisch. Da musst du dir eine echt gute schlüssige Erklärung einfallen lassen. Was gar nicht geht ist "mir reicht EG6 weil das ja schon viel mehr als Mindestlohn ist". Auch wenn du das natürlich so empfinden darfst, jeder Arbeitnehmer würde denken, dass du verrückt bist. Auch "ich will keine Karriere machen oder so viel Verantwortung tragen" ist voll legitim, aber hat nichts in der Bewerbung zu suchen. Das klingt zu sehr nach "ich will einfach ohne groß zu denken und ohne großen Einsatz meinen Job machen und nicht mehr" und für den Arbeitgeber, einfach nach zu wenig Engagement und Einsatz. Selbst wenn du auf der betreffenden Stelle niemals irgendwelchen Sondereinsatz zeigen oder Verantwortung tragen werden musst, weil es irgendein schnarchiger no-brain-job ist, will der AG trotzdem hören, dass du dazu grundsätzlich natürlich immer bereit wärst.
In einer Bewerbung auf eine "unterqualifizierte" Stelle solltest du stattdessen darauf eingehen, warum du genau diese Tätigkeit machen möchtest und sie dich so interessiert. Z.B. um nach dem Studium, also Theorie, erstmal dich auf die Praxis einzuschwingen. Jetzt direkt auf eine gehobene Position zu gehen hälst du nicht für angemessen, da du dein theoretischen Wissen erst mit praktischer Erfahrung unterfüttern möchtest. Das würde dir einfach Sicherheit geben. Weil ein Maurermeister ja auch erst mal wissen muss, wie man eine Wand mauert, bevor er ein ganzes Haus baut. Oder so ähnlich. Außerdem hast du Tätigkeit XY (aus der Stellenbeschreibung) im Studium kennengelernt und gemerkt, dass dir das einfach liegt und du das gut kannst/total gerne machst. Tätigkeit YZ hingegen kam im Studium deiner Meinung nach zu kurz/gar nicht vor und da würdest du auch einfach gerne ein Wissenslücke schließen und dazu lernen. Damit kannst du die Tätigkeiten adressieren, die du aufgrund der fehlenden Ausbildung zum ABC, halt NOCH nicht kannst. Wichtig ist immer die Bereitschaft und das Eigeninteresse, dazulernen zu wollen. Kein Bewerber kann alle Anforderungen der Stellenbeschreibung erfüllen, wichtig ist, wie motiviert er ist, das fehlende Wissen zu lernen.
Und um nochmal das Geld zu adressieren, das siehst du jetzt erstmal gar nicht so kritisch und bist da gerne bereit, Abstriche zu machen, wenn dich dafür die Tätigkeit dahinter erfüllt und du "was bewegen kannst"/was lernen kannst/dich einfach wohl fühlst. Du musst ja auch noch keine 5köpfige Familie ernähren, haha. Und dann kann man in der Zukunft - denn du denkst bei dieser Bewerbung schon durchaus langfristig - einfach mal sehen, ob die Stelle um höherwertige Tätigkeiten erweitert werden kann. So betonst du, dass du trotz Überqualifizierung an einer langfristigen Beschäftigung auf genau dieser Stelle interessiert bist (also nicht gleich wieder weg bist, sobald eine höherbewertete Stelle ums Eck kommt). Und der AG kann sich außerdem freuen, dass er jemanden mit so viel Potenzial (für so wenig Geld) da sitzen hat, den er auch irgendwann auf höherer Position einsetzen kann. Auch wenn du das im Moment zumindest gar nicht willst oder dir vorstellen kannst, vielleicht ändert sich das irgendwann ja, wenn du sicherer im Job geworden bist. Wichtig ist nur, dass der AG das Potenzial sieht und du willig (zu Leistung und Verantwortung), aber im Moment eben genügsam, erscheinst.
Wie gesagt, das waren nur "marketingtechnische" Anmerkungen, deine Motivation dahinter kann ich nachvollziehen und möchte ich auch gar nicht werten. Da es aber ein großes, vielleicht sogar belastendes Thema zu sein scheint, gönn' dir doch vielleicht einen Bewerbungscoach, der dir da noch wertvolle Hinweise und Hilfestellung zum Finden einer für dich geeigneten Stelle geben kann. Ich wünsche dir viel Erfolg.