Zunächst einmal steckt in der Schilderung des Sachverhaltes das eine oder andere drin, was auch strafrechtlich oder disziplinarrechtlich von Belang sein kann.
So gibt es nach dem Meldegesetz eine Meldepflicht, nach der man sich bei einem Umzug innerhalb von 14 Tagen ummelden muss. Diese Ummeldung hat dann in der Regel auch Auswirkungen auf die steuerliche Behandlung des Einkommens (Steuerklasse 1 oder 2 statt 3/5 oder 4/4).
Soweit es den Familienzuschlag der Kinder betrifft, gleicht der Dienstherr seine Daten automatisiert mit den Familienkassen ab, da der Familienzuschlag an die Zahlung von Kindergeld geknüpft ist. Die Familienkasse erinnert rechtzeitig an die weitere Beantragung des Kindergeldes.
Der Wechsel des Kindergeldempfängers muss der Beamte selbst dem Dienstherrn gegenüber anzeigen. Das ist also keine "Holschuld" des Dienstherrn sondern vielmehr eine "Bringschuld" des Beamten. Andenfalls kann der automatisierte Datenaustausch nicht gelingen.
Um die Fragen dennoch etwas zu beantworten:
Die Beihilfefähigkeit bleibt erhalten, solange die Kinder kindergeldberechtigt sind. Solange können sie bei Dir versichert bleiben. Auf eine häusliche Gemeinschaft kommt es nicht an.
Auch kann der Familienzuschlag bei getrennt lebenden Kindern weiter gewährt werden, solange die Kinder kindergeldberechtigt sind.
a) Sofern gegenüber der Ehefrau weiterhin eine Unterhaltsverpflichtung besteht, kann unter Umständen auch der Familienzuschlag "verheiratet" weitergezahlt werden
b) Dazu müsstest Du Dich erstmal ummelden, wofür Du auch gesetzlich verpflichtet wärst, die Änderung der Steuerklasse sollte dann automatisiert erfolgen
c) nein, außer man möchte es
d) das sollte für einen Beamten selbstverständlich sein, weil es andernfalls melderechtlich, strafrechtlich und disziplinarrechtlich Probleme geben kann
e) die dürften eher die Ursache im Bereich des Steuerrechtes haben und sind natürlich möglich.
Ich kann mir auch kaum vorstellen, dass dir hier jemand rät, dich weiterhin nicht umzumelden, um daraus Vorteile zu generieren. Als Beamter stehen etwaige Vorteile aus meiner Sicht in keinem Verhältnis zu den strafrechtlichen und vor allem disziplinarrechtlichen Strafen, die im Raum stehen.
Außerdem bewegen wir uns hier in verschiedenen Rechtskreisen: Melderecht, Strafrecht, Beamtenrecht und Steuerrecht.
Das Beamtenverhältnis ist als Dienst- und Treueverhältnis ausgestaltet. Die daraus erwachsenden Pflichten wie z. B. auch die Dienst- und Treuepflicht gehört zu den sog. hergebrachten Grundsätzen des Berufsbeamtentums. Auf dieser Grundlage regeln die Beamtengesetze von Bund und Ländern die verschiedenen Beamtenpflichten (für Bundesbeamte geregelt in §§ 60 ff.) Beamtinnen und Beamte müssen sich durch ihr gesamtes Verhalten zu der freiheitlichen demokratischen Grundordnung im Sinne des Grundgesetzes bekennen und für deren Erhaltung eintreten.
Vor diesem Hintergrund ist es, gelinde gesagt, befremdlich, in einem Forum nachzufragen, welche (finanziellen) Nachteile man hätte, wenn man sich gesetzestreu verhalten würde.