Moin, gleich vorab die Entwarnung: Für dich wird sich nichts Wesentliches für die Jahressonderzahlung ändern.
§20 TV-L regelt alles zur Jahressonderzahlung. Absatz (3) regelt dabei die Bemessungsgrundlage, was im Normalfall einfach das Durchschnittsentgelt der Monate Juli, August und September ist. Es existiert aber eine Protokoll-Erklärung dazu; und hierin insbesondere die Sätze 2 und 3:
Ist im Bemessungszeitraum nicht für alle Kalendertage Entgelt gezahlt worden, werden die gezahlten Entgelte der drei Monate addiert, durch die Zahl der Kalendertage mit Entgelt geteilt und sodann mit 30,67 multipliziert. Zeiträume, für die Krankengeldzuschuss gezahlt worden ist, bleiben hierbei unberücksichtigt.
Du hast also für 31 Tage im Juli, 2 Tage im August sowie 9 Tage im September Entgeltanspruch gehabt; in der Zeit dazwischen entweder gar nicht, oder nur durch Krankengeldzuschuss. Das Entgelt für diese 42 Tage wird also durch 42 geteilt und mit 30,67 multipliziert, sodass man daraus die Bemessungsgrundlage erhält. Das ist -- bei keiner Veränderungen im Teilzeitumfang, Stufenaufstieg o.Ä. bis auf Rundungsfehler -- identisch mit der Bemessungsgrundlage, die du auch erhalten hättest, wenn du die drei Monate normal gearbeitet hättest.
Auch kommt es zu keiner Verminderung des Anspruchs auf Jahressonderzahlung für Zeiten ohne Entgeltanspruch, da hierfür nur jeweils volle Kalendermonate herangezogen werden. Offensichtlich hattest du aber -- jedenfalls in der genannten Zeit -- keinen ganzen Kalendermonat ohne Entgeltanspruch. Also liegt dafür auch kein Kürzungsgrund vor.