Moin,
schaue mal in deine Arbeitsverträge. Steht dort jeweils "das Land Berlin [vertreten durch...]" als Arbeitgeberin? Wenn ja, dann hast du Anrecht auf deine volle Jahressonderzahlung (und auch auf das volle November-Entgelt). Wie jetzt dein AG das Geld auf seine untergeordneten Behörden aufteilt und aus welchem Topf welcher Behörde dein Entgelt (inkl. JSZ) gezahlt wird, kann dir egal sein.
Wenn dort allerdings "Bezirksamt A" als Arbeitgeber steht, dann hast du tatsächlich keinen Anspruch auf die JSZ, weil du am 1.12. keinen gültigen Arbeitsvertrag mit dem Amt hattest. (Dann müsstest du aber zuvor einen Aufhebungsvertrag geschlossen haben inkl. Abgeltung von Urlaub usw., da mitten im Monat keine Kündigungsfrist enden kann. Ob etwas dergleichen stattgefunden hat, dürftest du also wissen.)
Schreibe denen zurück, dass aufgrund von TV-L §20 Absatz (1) die ausgezahlte Summe korrekt ist und du davon ausgehst, dass die Rückforderung nichtig ist, da dein Arbeitsverhältnis mit dem Land Berlin weiterhin besteht und insbesondere auch am 1.12. bestanden hat. Dann können die sich intern umgucken, ob sie sich das Geld von Bezirksamt B zurückholen; aber das ist nicht mehr deine Baustelle.