Arbeitsvertrag noch nicht unterschrieben – trotz Zusage andere Stelle annehmen?

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Guten Abend in die Runde,

zuallererst: ich bin neu in dem Forum. Bitte verzeiht mir, sollte ich bestimmte Regeln des Forums nicht einhalten. Gebt gerne Bescheid sollte dies der Fall sein.

ich habe gerade ein etwas kompliziertes Dilemma und würde mich über eure Einschätzung freuen.

Mitte Juni habe ich eine Zusage für eine Stelle als Mutterschutz- und anschließend Elternzeitvertretung (TV-L) bekommen. Die Stelle ist zunächst für vier Wochen und anschließend für zwei weitere Jahre befristet. Nach dem Online-Vorstellungsgespräch habe ich die Abteilung noch persönlich besucht und mich anschließend für das nette Gespräch bedankt und auf die zukünftige Zusammenarbeit gefreut. Dies habe ich auch so mitgeteilt.

Ende Juni bekam ich von der Personalabteilung die Einstellungsunterlagen (Personalbogen etc.) mit dem Hinweis, dass die Einstellung u. a. unter dem Vorbehalt der Zustimmung des Personalrats sowie der Mittelfreigabe steht. Die Unterlagen habe ich Anfang Juli ausgefüllt zurückgeschickt. Seit Anfang Juli habe ich allerdings nichts mehr gehört. Der letzte Stand war, dass man sich meldet, sobald der Arbeitsvertrag zur Unterschrift bereit ist. Einen Arbeitsvertrag habe ich bislang nicht unterschrieben.

Parallel hatte ich mich noch auf eine andere Stelle im öD beworben. Das Verfahren dort begann etwas später (Mitte/Ende Juli), und letzte Woche habe ich auch dort eine Zusage bekommen, die ich bereits angenommen habe.

Nun ist die zweite Stelle für mich deutlich attraktiver: Sie ist unbefristet, inhaltlich interessanter und bietet ein wesentlich höheres Entgelt. Deshalb würde ich diese Stelle gerne antreten.
Meine Frage ist nun: Bin ich durch die Zusage und das Zurückschicken der Einstellungsunterlagen bei der ersten Stelle bereits eine verbindliche Verpflichtung eingegangen? Oder kann ich die erste Stelle noch absagen, da ich keinen Arbeitsvertrag unterschrieben habe? Ich warte seit mindestens 5 Wochen auf den Arbeitsvertrag der anderen Stelle. Nachgefragt hatte ich auch schon.

Dergeplante Arbeitsbeginn der ersten Stelle wäre in etwa sieben Wochen. Mir ist bewusst, dass es menschlich etwas unangenehm ist, eine bereits zugesagte Stelle wieder abzusagen. Andererseits möchte ich natürlich die für mich deutlich bessere Stelle annehmen.
Hat jemand schon einmal eine ähnliche Situation erlebt oder kennt sich aus ?

Vielen Dank im Voraus und einen schönen Abend!