Hast Du eine schriftliche Zusage für das Ausschreibungsverfahren erhalten?
Steht dort oder irgendwo sonst eine von Deiner Seite aus zu erfüllende Bedingung drin? Also salopp "Vielen Dank für Ihr Interesse... bla bla... gerne möchten wir die ausgeschriebene Stelle mit Ihnen besetzen, wenn Sie uns den Wechsel zum 01.01.2022 bestätigen können bla bla..."
Wenn davon nirgendwo etwas steht würde ich das ganz gelassen angehen. Einfach ein nettes Schreiben aufsetzen, sich für die erfreulichen Nachrichten um des positiven Entscheids in erster Instanz bedanken und darum bitten rechtzeitig informiert zu werden, sobald die Besetzung in allen relevanten Gremien entschieden wurde. Sobald Dir auch diese Informationen vorliegen würdest Du, unter Einhaltung der gesetzlichen Kündigungsfristen, den frühestmöglichen Termin für den Stellenantritt bekanntgeben.
Grundsätzlich finde ich die Erwartungshaltung des neuen AG recht bedenklich und könnte schon Rückschlüsse auf die zukünftige Erwartungshaltung zulassen. Selber nicht aus dem Quark kommen und auf dem letzten Drücker muss dann noch alles huschi huschi von anderen erledigt werden. Dann muss man vielleicht einfach früher ausschreiben, wenn man morgen schon jemanden haben will, der bis gestern gekündigt haben muss. Was wäre denn gewesen wenn der Wunschbewerber aufgrund der langen Betriebszugehörigkeit eine Kündigungsfrist von einem halben Jahr gehabt hätte? Dann hätte man entgegen der Bestenauslese den langfristig schlechteren Bewerber genommen, weil der aufgrund seines Unvermögens vielleicht gar kein zu kündigendes Beschäftigungsverhältnis besitzt?