Meines Wissens, ist der Arbeitsvertrag schon unterwegs und der Personalrat hat der bisherigen Eingruppierung zugestimmt.
Das ist in der Konstellation natürlich ungünstig. Denn grundsätzlich gibt es durchaus die Möglichkeiten von Zulagen z.B. nach § 16 (5) TVL durch Höherstufung in 13/5 oder 13/6. Aber die ist halt besser (mancherorts überhaupt nur) im Voraus zu verhandeln mit Argument "ohne die Zulage kommt der AN gar nicht erst".
Wir können auch nicht einschätzen, inwiefern dein neuer AG dir hier schon entgegengekommen ist, was die Einstufung generell angeht. Eventuell wurde da schon gegenüber Verwaltung und PR schon "Kapital verbrannt", um dich auf Stufe 4 zu bekommen, wenn du vorher immer in der Privatwirtschaft warst.
Also ja, es kann durchaus sein, dass du hier ein größeres Fass aufmachst, wenn du jetzt sagst, du kommst doch nur bei Zahlung einer Zulage. Was nicht unbedingt heißt, dass du es gar nicht erst versuchen solltest. Aber sei gewappnet auf Nachfragen, warum du dies nicht vorher angesprochen hast, etc.