Glückwunsch zur Promotionsstelle! Typischerweise wird mit dem Arbeitsvertrag (oder einer Nebenabrede) geklärt werden, wie sich deine Arbeitszeit in der Woche verteilt. Denkbar sind insbesondere zwei Modelle:
*) Du machst jeden Tag 65% deiner durchschnittlichen täglichen Arbeitszeit, also ca. 5h. Dann hast du eine 5-Tage-Woche und aus dem TV-L (wobei ich nicht weiß, ob dein Forschungsinstitut nicht nach TVöD entlohnt; aber da ist die Regelung analog) ergibt sich der entsprechende Urlaub, also 30 Tage im Jahr, wobei sich der Anspruch für jeden Monat vor dem Vertrag um 1/12 reduziert. Es ergibt sich also für die Zeit Juli-Dezember ein Anspruch von 15 Tagen Urlaub, oder 3 vollen Wochen.
*) Du arbeitest an 3 fest vorgegebenen Wochentagen jeweils etwas über 8 Stunden und hast die übrigen Wochentage nicht mit deiner Tätigkeit bei deinem Arbeitgeber vertraglich zu tun. Dann verkürzt sich zwar der Urlaubsanspruch aus dem TV-L (und analog beim TVöD) auf 18 Tage im Jahr bzw. 9 im Zeitraum Juli-Dezember, aber dies sind weiterhin 3 volle Wochen, da du an den anderen Tagen ja sowieso nicht arbeitest.
In beiden Fällen hast du also drei volle Urlaubswochen (analog auch bei einer Verteilung auf 4 Arbeitstage).
BTW: Ob du in deine Freizeit nutzt, um in eigenen Fragen vorwärts zu kommen, ist nicht Bestandteil deines Arbeitsvertrags. Jedenfalls kann keiner von dir verlangen, dass du in deiner Freizeit an irgendwelchen Dingen, die dir dein Arbeitgeber an Aufgaben überträgt — und dazu zählt die Forschung — arbeitest. Dafür ist die Arbeitszeit da und dafür wirst du bezahlt. Was du in deiner Freizeit machst, ist allein deine Sache und da hat dir dein Arbeitgeber nicht reinzureden — jedenfalls solang du da nichts gesetzeswidriges tust oder irgendetwas anderes, was deiner Arbeitskraft schadet (beispielsweise bis kurz vor Arbeitsbeginn einem Nebenjob als DJ nachgehen). Wenn dein Arbeitgeber will, dass Aufgaben (z.B. deine Promotion) schneller erledigt werden, soll er Überstunden anordnen; dann wirst du auch entsprechend bezahlt.