Stellen sind tariflich irrelevant, amn ist aufgrund seiner auszuübenden Tätigkeit eingruppiert.
Daher solltest du diese Frage beantworten (können)
Wurde Dir vom dazu befugten Personal eine Tätigkeit vor einem halben Jahr übertragen, die zu einer Höhergruppierung führte, bist du seitdem höhergruppiert (falls Du diese Tätigkeit übernehmen wolltest).
Der Rest spielt für deine Eingruppierung keine Rolle.
Denn wenn du die Aufgaben, die der AG meint ausschreiben zu müssen, schon übertragen bekommen hast, dann forderst du das entsprechende Entgelt und gut ist.
Nochmal konkret
was zum Anlass genommen wurde mir schriftlich eine Teamleitungsfunktion zu übertragen (nur Fachaufsicht, keine Dienstaufsicht).
Wer hat das dir schriftlich übertragen, die Personalabteilung, oder dein Linienvorgesetzter (der bestimmt nicht befugt ist Arbeitsverträge zu unterschreiben)
Die Übertragung ist ca. ein halbes Jahr her und damit einher geht die Aktualisierung meiner Tätigkeitsbeschreibung,
Wurde dir diese neue Tätigkeitsbeschreibung (als deine auszuübenden) von der Personalstelle mitgeteilt ?
Falls nein, fordere diese an, weil du ansonsten diese Tätigkeiten die die aktuell ausübst ab sofort nicht mehr ausüben darfst.