Es ist eigentlich recht einfach:
1. Dir steht ab dem Zeitpunkt der Übertragung der auszuübenden Tätigkeit die Vergütung zu, die der Wertigkeit der Stelle entspricht. Das nennt sich Tarifautomatik. Wenn dir die Stelle z. B. am 01.04.2021 übertragen wurde und die Wertigkeit der Stelle bei einer EG 9a liegt, hast Du ab diesem Tag (01.04.2021) einen Anspruch auf Vergütung nach EG 9a.
2. Wenn der Arbeitgeber die Wertigkeit der Stelle bislang in der EG 7 gesehen hat und Dich nach EG 7 bezahlt hat, ist dies ein Eingruppierungsirrtum des Arbeitgebers. Er hat die Stelle falsch bewertet, dies ändert aber nichts an deinem tariflichen Anspruch auf eine EG 9a. Da die auszuübenden Tätigkeiten ja einer EG 9a entsprechen, so wie sich ja jetzt herausgestellt hat.
3. Tarifliche Ansprüche können jedoch nur 6 Monate rückwirkend geltend gemacht werden. Der Antrag auf Höhergruppierung bzw. Überprüfung der Eingruppierung datiert vom 29.07., also kannst Du ab diesem Tag rückwirkend 6 Monate die Zahlung der höheren Vergütung verlangen. Das die Monate davor futsch sind, ist zwar extrem ärgerlich aber leider nicht zu ändern. Es soll Leute gegeben habe, die jahrzehntelang falsch eingruppiert waren (zu hoch oder zu níedrig).
4. Die Tätigkeitswahrnehmung erfolgte zum 01.04.2021, also beginnt auch ab diesem Zeitpunkt die Stufenlaufzeit. Dies hat das BAG in dem zitierten Urteil noch einmal bestätigt. Es handelt sich hier nicht um eine Höhergruppierung sondern um die Korrektur einer falschen Stellenbewertung (Eingruppierung).